Mathe: Der Dreisatz (Teil 1)Mathe: Der Dreisatz (Teil 1)



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200703Di.Apr
K inderRatTat bietet an, den Dreisatz hier am Bildschirm auszuprobieren. Dieses Werkzeug eignet sich auch zum Lösen entsprechender Hausaufgaben.

Sobald die Kinder in der Schule mit Plus, Minus, Multiplikation und Division durch sind, wird die Hürde eine Stufe höher gelegt:

Jetzt kommt der immer wieder gerne benutzte Dreisatz dran.

Der Dreisatz ist ein mathematisches Werkzeug, das - man will es kaum glauben - auch außerhalb der Schule rege Beachtung findet. Die unterschiedlichsten Berufe arbeiten regelmäßig mit dem Dreisatz. So zum Beispiel Köche oder Maler, Schreiner, Architekten und
Mathematik
lehrer. Mit dem Dreisatz lernen wir also etwas Sinnvolles, der Dreisatz ist "fürs Leben".

A uch "zu meiner Zeit" (anno 1964ff in der Volksschule) war der Schulleitung die Wichtigkeit dieses mathematischen Instruments bewusst und es wurde ihm ein ganzes halbes Schuljahr gewidmet. Wobei in jeder der anschließenden Mathearbeiten mindestens eine Aufgabe dabei war, die man mit dem Dreisatz lösen musste. (... Benutze den Dreisatz, um die Aufgabe zu lösen.)

Es gibt zwei Arten vom Dreisatz:
  • den proportionalen und
  • den gegenproportionalen Dreisatz

Um zu wissen, welcher Dreisatz angewendet werden muss, genügt die Frage:
Wenn A größer wird, wird dann B auch größer?


Wenn man diese Frage mit JA beantworten kann, dann handelt es sich bei dem Problem um ein proportionales, ansonsten ein gegenproportionales.
Man kann also ganz einfach unterscheiden, welches der Probleme vorliegt. Eine beliebte Problemstellung lautet:
2 Arbeiter brauchen für 40 Quadratmeter Pflaster 8 Stunden,
wie lange brauchen 3 Arbeiter?

Das ist ein gegenproportionales Problem in dem die Zahl 40 nur dazu dient, den Befragten zu verwirren. Diese Zahl nimmt nämlich an der Berechnung des Ergebnisses nicht teil.
Wir gehen davon aus, dass die 3 Arbeiter ihre Zeit nutzen, um zu pflastern. Zu dritt geht es schneller: A (Anzahl der der Arbeiter) nimmt zu, B (wie lange wird es wohl dauern?) nimmt ab.

Es gibt nämlich auch gegensätzliche, nicht-mathematische Lösungsansätze, die bei der Problemlösung davon ausgehen, dass die 3 Arbeiter genauso lange brauchen wie 2 Arbeiter, weil sie den Rest der Zeit mit Skat-Spielen verplempern. Oder sie brauchen länger, weil sie beginnen, sich zu streiten (Wer muss das Bier holen gehen?).

Wie auch immer, bei einfachen Dreisatzfragen wird nicht davon ausgegangen, dass es Rabatt gibt oder irgendwelche Unwägbarkeiten (wie spielende oder sich streitende Arbeiter), die das Ergebnis vom LINEAREN Weg abbringen könnten. Keine Angst, nicht-lineare Probleme kommen auch noch dran - aber später.

So geht der Dreisatz (proportional)
Es sind 3 Sätze, die aufgesagt werden. Nehmen wir zur Veranschaulichung des proportionalen Dreisatzes das Eintrittskartenproblem:
3 EK kosten 246, wieviel kosten 7 EK?
1. Satz: 3 EK kosten 246 B
2. Satz: 1 EK kostet 246/3 B / A
3. Satz: 7 EK kosten 246/3 * 7 B / A * C


Der Trick ist also, auf eine Einheit herunterzurechnen und dann mit dem Zielwert zu multiplizieren. Im ersten Satz stellen wir fest, was alles zusammen kostet. Im zweiten Satz teilen wir durch die Anzahl der Karten, um den Preis für eine Karte zu erhalten. Im dritten Satz wird mit der gefragten Anzahl multipliziert und damit das Ergebnis errechnet.

So geht der Dreisatz (gegenproportional)
Hier nehmen wir das Arbeiterproblem:
2 A brauchen 8 Std, wie lange brauchen 3 A?
1. Satz: 2 A brauchen 8 B
2. Satz: 1 A braucht 8*2 (Er braucht 2x so lange) B * A
3. Satz: 3 A brauchen 8*2 / 3 B * A / C


Auch hier wird auf eine Einheit heruntergerechnet. Allerdings braucht ein Arbeiter doppelt so lange wie zwei Arbeiter. Darum wird die Acht mit der Zwei multipliziert. Dann haben wir die Zeit, die ein Arbeiter benötigt (16 Std). Anschließend wird dieser Wert durch die neue Anzahl der Arbeiter geteilt und es kommt "Fünf 1/3" oder "5,333333..." oder 5 Std und 20 Minuten heraus.



Aufgaben zum Dreisatz: KinderRatTat:Dreisatz Aufgaben
Weiterführende Links:


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Update am 17.07.07: Eingabe des Punktes als Dezimaltrenner ist nicht mehr zwingend erforderlich. Das Komma funktioniert jetzt auch.
2,5 = 2.5

Peter Klauer

200816So.Nov
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